Near-Optimal Parameterization of the Intersection of Quadrics: IV. An Efficient and Exact Implementation

We present the first complete, robust, and efficient C++ implementation for parameterizing the intersection of two implicit quadrics with integer coefficients of arbitrary size. It is based on the near-optimal algorithm presented in Parts I, II, and III [5, 6, 7] of this paper. Our implementation correctly identifies and parameterizes all the algebraic components of the intersection in all cases, returning parameterizations with rational functions whenever such parameterizations exist. In addition, the field of the coefficients of the parameterizations is either of minimal degree or involves one possibly unneeded square root. We also prove upper bounds on the size of the coefficients of the output parameterizations and compare these bounds to observed values. We give other experimental results and present some examples. Key-words: Intersection of surfaces, quadrics, curve parameterization, implementation. ∗ Project Vegas, LORIA (UMR CNRS, INPL, INRIA Lorraine, Universités Nancy 1 & 2), Nancy, France; [email protected]. † Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura, Universidad Nacional de Rosario, Rosario, Argentina. Work done while this author was visiting LORIA (supported by the International Relations Delegation of INRIA). Paramétrisation quasi-optimale de l’intersection de quadriques : IV. Une implantation exacte et efficace Résumé : Nous présentons la première implantation complète, robuste et efficace pour calculer une paramétrisation exacte de l’intersection de deux quadriques données sous forme implicite avec coefficients entiers. Cette implantation est basée sur l’algorithme présentée dans les Parties I, II et III [5, 6, 7] de cet article. Notre implantation identifie dans tous les cas chaque composante algébrique de l’intersection et en calcule une paramétrisation avec des fonctions rationnelles lorsqu’une telle paramétrisation existe. De plus, le corps des coefficients de la paramétrisation est soit de degré minimal, soit contient une racine carrée qui peut éventuellement être évitée. Nous calculons des bornes supérieures sur la taille des coefficients des paramétrisations calculées et comparons ces bornes aux tailles observées expérimentalement. Nous présentons également d’autres résultats expérimentaux et des exemples. Mots-clés : Intersection de surfaces, quadriques, paramétrisation, implantation. Near-Opt. Param. of the Intersec. of Quadrics: IV. An Efficient and Exact Implementation 3